「和田博の多元数論」の完結編‼

＜序文より＞

 はじめに

　前々著「ベクトルの回転演算子 複素数・四元数・･･･」及び 

前著「ベクトルを回す複素数・四元数・･･･・多元数」において、

「ｎ次元ユークリッド空間のベクトルを回転させる演算子が 

２次元空間(平面)では複素数,３次元空間では四元数, 

４次元空間では八元数，･･･ ,ｎ次元空間では 2^(n-1) 元数, となる」

ことを示した。 

　 しかも、この 2^(n-1) 元数は、積に関して結合的な多元環である。 

その意味でも、この多元数は複素数の拡張として相応しいと考える。 

 　だが、回転演算子(2^(n-1) 元数)の行列表現については、　

一切触れてこなかった。存在は確信していたが、未解明だったからである。　 

　本著の第一の目的は、その行列の存在を明らかにすることにある。　

６次元空間までの回転行列を、前々著・前著の回転演算子となるように　

作り上げていく。その過程で、回転演算の仕組みがさらに明らかになる。　

その作り方は、ｎ次元空間に一般化できるものである。　

　 第１章では、「平面上の回転行列は、複素数とみなされる」ことを再確認し、　

「複素平面とは何か」.「複素平面上の点の、複素数による回転とは何か」　

を明確にする。　

また、「ベクトルから複素数を求める演算」としての“複素内積”を　

前々著・前著同様に定義する。　

　 第２章では、３次元空間の回転行列を四元数となるよう作り直す。　 

ここでの新しい発見は、「互いに可換な、二種類の回転行列＝四元数が存在する」　

ことである。それら異種の行列の積により、ベクトルは回転軸の回りを回転する　

ことができる。　

　また、「二種類の回転行列を一方に揃えて演算する方法」も存在し、それを二通り示す。　 

「互いに可換な二種類の回転行列＝2^(n-1)元数」の存在は、幾何学のみならず、　

物理学や工学においても重要な意味を持つに違いない。　 

　ＣＧやロボット制御のコンピュータプログラムでは、　

滑らかな動きを作るため「回転行列を四元数に変換して“球面線形補間”し、　

それを回転行列に戻してベクトルにかける」という。　

そういった応用計算上の二度手間解消にも本著の「四元数としての回転行列」が貢献できる　

に違いない。　 

　「ｎ次元空間の回転に対しても、互いに可換な二種類の回転行列＝2^(n-1)元数が存在し、　

それら異種の行列の積により、ベクトルは軸の回りを回転する」と一般化できるものであり、　

「二種類の回転行列=2^(n-1)元数を一方に揃える演算方法」も一般化可能である。  

　第３章では、３次元空間の回転行列を拡張することにより、　

４次元空間の「互いに可換な二種類の、回転行列＝八元数」を作る。　

　 第４章では、「四元数となる回転行列」,「八元数となる回転行列」の成分構成を分析し、　

回転行列の作り方を考察する。それによって、　

５次元空間の「可換な二種類の、回転行列＝十六元数」を作る。　

また、６次元空間の「可換な二種類の、回転行列＝三十二元数」をも作る。　

行列についての各証明は、省略せずにすべて示す。 

　３次元空間の回転演算にのみ関心のある場合は、　

第１章,第２章,第５章をお読み頂ければ十分である。　

　本著の四元数の回転演算による「ハミルトンの四元数」の解釈も第２章と第５章に示した。　

イメージがつかみ難いとされている「ハミルトンの四元数の演算」を、　

かなり分かり易いものに解明できたのではないかと思う。　 

なお、「ハミルトンの四元数」の詳細は、参考文献[1]～[8][11]を参照して頂きたい。　 

歴史的には、「ハミルトンの四元数」から「ベクトル解析」が派生した。　

しかし、前々著・前著では、逆に「ベクトル解析」の立場から　 

「ｎ次元空間ベクトルの回転演算子」としての「多元数」を構築し、　

本著ではそれらの行列表現を二種ずつ発見して、回転演算の仕組みをさらに解明した。　

　この３部作をもって、一応「ベクトルの回転演算子としての多元数」の理論の大筋は完成した。　

その全貌は、シンプルで非常に美しく感動的である。今となっては、本著からお読み頂き、　

前著，前々著と進んで頂くと分かり易いと思う。 　

　本著は、「多元数を表す回転行列の作り方を模索する過程」として書かれている。　

そのため、論理的ではない記述も多々含まれており、それらの理論上の整理については、　

今後の課題として残されている。　

その点をご理解頂き、むしろ「多元数を表す回転行列を作る」過程のときめきと、　

その結果を得る醍醐味を感じて頂きたいと思う。